Подгряване на вода в резервоар

 

Даден е съд с вода с маса  и температура . В съда е поставен нагревател с мощност . Към съда се подава вода с разход  и температура , а от него се извежда вода с разход  и температура  равна на моментната температура в съда t.

Да се изведат законите за изменение  и , когато  (отворен съд)  и когато  (затворен съд, бойлер).

 

Фиг.1.

 

Дадено :

1. Резервоар с начална маса на водата m0 [kg], начална температура t0 C] и текуща температура t C] ;

2. Нагревател с мощност P [W];

3. Към резервоара се подава вода с разход g1 [kg/s] и температура t1 [°C];

4. От резервоара се извежда вода с разход g2 [kg/s] и температура t2 [°C] .

 

Да се намери :

1. За ,  и

2. За ,  и

 

Решение :

Допускаме, че става мигновенна хомогенизация на водата в резервоара. При това t2 = t, където t е моментната (текуща) температура на водата в резервоара.

 

1.  разходите на подаваната и отвеждана вода от резервоара са различни.

1.1. Диференциално уравнение на масовия баланс за резервоара.

Изменението на масата на водата в резервоара за единица време , е в същност разликата между подаваната  и отвежданата  вода, тоест :

 

(1)

Горното диференциално уравнение описва изменението на масана на водата в резервоара.

 

Разделяме променливите:

(2)

 

Интегрираме (2) за масата на водата в резервоара m в граници от m0 до текущата стойност на m, а за времето τ от 0 до текущата стойност τ.

(3)

 

(4)

Уравнение (4) е законът, описващ изменението на масата на водата в резервоара,  с времето.

 

 

1.2. Диференциално уравнение на топлинния баланс за резервоара.

Според закона за съхранение на енергията, за един безкрайно малък отрязък от време , изменението на енергията  на водата в резервоара ще бъде равно на :

, където :

 - енергията, внесена в резервоара чрез нагревателя;

 - енергията, внесена в резервоара чрез подаваната вода;

 - енергията, изведена от резервоара чрез изкарваната вода;

 - специфичен топлинен капацитет на водата.

 

(5)

Уравнение (5) и диференциалното уравнение описващо изменението на енергията на водата в резервоара с времето.

 

Енергията на водата в резервоара е равна на :

(6)

 

Диференцираме (6) по части като отчитаме, че променливите са m, t и E, а ср е константа:

(7)

 

Заместваме изразът за  от (7) в (5):

(8)

(9)

 

Делим двете страни на (9) на ср:

(10)

Полагаме :  

От (1), изразяваме m от закона за изменение на масата (4)  и заместваме в (10) :

(11)

Поради допускането за мигновена хомогенизация на водата в резервоара  :

(12)

(13)

Горното диференциално уравнение описва процеса на изменение на температурата t на водата в резервоара с времето .

 

Разделяме променливите.

(14)

 

Интегрираме (14) за t в граници от t0 до текущата стойност на t, а за времето τ от 0 до текущата стойност τ.

(15)

 

Внасяме –g1 и g1g2 под диференциалите.

(16)

 

Кото отчетем в случая, че g1, g2, t1 и Р` са константи и можем да съберем или извадим функцията под знака на диференциала с константа, без това да промени равенството, защото производната на константа е нула тоест :

 и

, получаваме :

(17)

 

Това са таблични интеграли от вида  :

(18)

 

Тогава решението на двата интеграла от (17) ще бъде :

(19)

(20)

 

Като вземем в предвид, че , внасяме  под логаритъма.

(21)

 

Антилогаритмуваме (21) :

(22)

(23)

(24)

 

Заместваме изразът за :

(25)

Нека сега изменим постановката на задачата, като преместим нагревателя от резервоара, в топлообменник на подаваната вода (фиг.2.). Това не води до промяна на проведените до тук разсъждения и изчисления.

Фиг.2.

В този случай подаваната в резервоара вода ще се загрее във входящият топлообменник с , като според топлинният баланс за него:

(26)  

(27)

Заместваме  от (27)  в (25):

 

(28)

 

В случая  ще ни даде времето за което, при така зададените , , , ,  и  температурата на резервоара ще се промени от  до определено .

 

За да  намерим  преработваме (22):

(29)

(30)

(31)

(32)

 

Заместваме изразът за :

(33)

Заместваме  от (27) :

(34)

 

Или в случая  ще ни даде каква ще е температурата  след време  при така зададените , , , ,  и .

 

 


2.  разходите на подаваната и отвеждана вода от резервоара са еднакви (затворен съд).

Фиг.3.

 

2.1. Масов баланс за резервоара.

  

 

2.2. Диференциално уравнение на топлинния баланс за резервоара.

(35)

 

Енергията на водата в резервоара е равна на :

(36)

 

Диференцираме (36) по части като отчитаме, че в случая променливите са t и E, а ср и m са константи.

(37)

 

Земестваме (37) в (35):

(38)

 

Делим двете страни на (38) на ср:

(39)

Полагаме :  

(40)

Горното диференциално уравнение описва процеса на изменение на температурата t на водата в резервоара с времето .

 

 

Разделяме променливите:

(41)

 

Интегрираме за t в граници от t0 до текущата стойност на t, а за времето τ от 0 до текущата стойност τ.

(42)

(43)

 

Внасяме –g1 под диференциала:

(44)

 

Кото отчетем в случая, че g, t1 и Р` са константи и можем да съберем или извадим функцията под знака на диференциала с константа, без това да промени равенството, защото производната на константа е нула тоест :

, получаваме :

 (45)

 

Това е табличен интеграл от вида :

 

(46)

 

Заместваме изразът за :

(47)

 

Провеждаме аналогични разсъждения, като в предния абзац, като изменяме постановката на задачата, премествайки нагревателя от резервоара, в топлообменник на подаваната вода (фиг.4.). Това не води до промяна на проведените до тук разсъждения и изчисления.

 

Фиг.4.

В този случай подаваната в резервоара вода ще се загрее във входящият топлообменник с , като според топлинният баланс за него:

(48)  

(49)

Заместваме  от (49)  в (47):

(50)

 

Или в случая  ще ни даде времето за което, при така зададените , , ,  и  температурата на резервоара ще се промени от  до определено .

 

За да  намерим  преработваме (50):

(51)

 

Антилогаритмуваме :

(52)

(53)

Или в случая  ще ни даде каква ще е температурата  след време  при така зададените , , ,  и .

 

Отговор :

1.

;

2.

;

Където .