Еднородна сфера с маса  се опира едновременно на идеално гладка вертикална стена и идеално гладък прът ОВ, шарнирно свързан със стената в точка О (фиг.1). Ъгълът между пръта и стената е ,  и . Ако се пренебрегне масата на пръта да се определят:

а) величината на вертикалната сила , приложена в точка В, така че системата сфера – прът да остане в равновесие;

б) величината на силата  на реакцията в шарнира;

в) величината  на силата на натиск от страна на сферата върху стената;

г) величината  на силата на натиск от страна на сферата върху пръта.

Фиг.1.

 

Дадено :

; ; ;

 

Да се намери :

; ; ;

 

Решение :

Означаваме действащите върху сферата сили – фиг.2.

Фиг.2.

 е силата на реакция от страна на стената към сферата, тя е перпендикулярна на стената в точката на допиране на сферата;

 е силата реакция от страна на пръта към сферата, тя е перпендикулярна на пръта в точката А на допиране на сферата;

 е силата тежестта на сферата.

 

Записваме първото условие за равновесие на сферата:

(1)

Избираме координатна система XOY както е показано на фиг.2 и проектираме векторното уравнение (1) върху координатните оси :

(2)

(3)

 

Намираме проекциите на силите :

;

;

;

 

Заместваме проекциите на силите в (2) и (3) :

 (4)

 (5) , заместваме в (4):

(6)

 

Според третият закон на Нютон :

;

Следователно получаваме :

(7) ; ;

(8) ; ;

 

Означаваме действащите върху пръта сили – фиг.3.

Фиг.3.

 е силата на реакция от страна на шарнира към пръта;

 е силата на натиск от страна на сферата към пръта, тя е перпендикулярна на пръта в точката А на допиране на сферата;

 е силата приложена към пръта в точка В, така че той да остане в равновесие.

Забележка: пръта няма сила на тежестта, защото според условието на задачата масата му се пренебрегва.

 

Записваме първото условие за равновесие на пръта:

(9)

Избираме координатна система XOY както е показано на фиг.2 и проектираме векторното уравнение (9) върху координатните оси :

(10)

(11)

Намираме проекциите на силите :

;

;

;

 

Заместваме проекциите на силите в (10) и (11) :

 (12)

 (13)

 

Ако означим с ,  и  моментите създавани съответно от силите ,  и , то второто условие за равновесие ще има вида :

(14)

За да определим действащите моменти, избираме ос Z, минаваща през точка О и имаща посока от равнината на рисунката към нас (фиг.4).

Фиг.4.

При така избраната ос Z:

(15)  

(16) ;

 ;

(16.1)

(17) ;

(17.1)

 

Проектираме векторното уравнение (14) върху оста Z и заместваме (15), (16.1) и (17.1):

       

(18) ;

Заместваме изразът за F2 от (8):

       

(19) ;

;

 

Заместваме изразът за F от (18) в (13) :

;

(19)

 

Заместваме изразът за F2 от (8) в (12) :

(20)

;

 

Заместваме изразът за F2 от (8) в (19) :

(21)

;

 

Реакцията в опората тогава ще е :

(22)

;

 

Отговор :

; ;

;