Еднороден прът АВ с маса  се опира с единият си край А на идеално гладка хоризонтална повърхност под ъгъл , а в точките C и D на две ролки (фиг.1). Определете величината на силите на натиск ,  и  върху повърхността, долната и горната ролка, ако . Триенето между ролките и пръта да се пренебрегне.

Фиг.1.

 

Дадено :

; ;

 

Да се намери :

; ;

 

Решение :

Означаваме действащите сили – фиг.2.

Фиг.2.

 е силата на реакция от страна на хоризонталната повърхност към пръта;

 е силата на реакция от страна на лявата ролка към пръта;

 е силата на реакция от страна на дясната ролка към пръта;

 е силата тежестта на пръта.

Тъй като хоризонталната повърхност е идеално гладка, сила на триене между нея и пръта няма.

 

Записваме първото условие за равновесие на системата:

(1)

Избираме координатна система XOY както е показано на фиг.2 и проектираме векторното уравнение (1) върху координатните оси :

(2)

(3)

 

Намираме проекциите на силите :

;

;

;

 

Допълващи се тригонометрични функции:

( виж таблицата )

 

;

 

Заместваме проекциите на силите в (2) и (3) :

 (4)

(5) , заместваме от (4) :

     

      , но  :

(6)

 

Ако означим с , ,  и  моментите създавани съответно от силите , , и , то второто условие за равновесие ще има вида :

(7)

За да определим действащите моменти, избираме ос Z, минаваща през точка A и имаща посока от равнината на рисунката към нас (фиг.3). При така избраната ос Z:

Фиг.3.

(8)  ;

(9)  

;  ;

(9.1)

(10)  ; (10.1)

(11)  ; (11.1)

 

Проектираме векторното уравнение (7) върху оста Z и заместваме (8), (9.1), (10.1) и (11.1) :

       

(12) , заместваме (4) :

, но

(13)

 

Според третият закон на Нютон :

 ;  ;

Следователно окончателно получаваме :

(14)

(15)

 

Отговор : ;