Стълба с дължина  е облегната на вертикална идеално гладка стена, сключвайки ъгъл  с хоризонта. Коефициента на триене между стълбата и пода е . На каква височина  относно пода може да се качи човек, преди стълбата да започне да се плъзга? Масата на стълбата да се пренебрегне.

Фиг.1.

 

Дадено :

; ;

 

Да се намери :

 

Решение :

Означаваме действащите сили – фиг.2.

Фиг.2.

 е силата на нормална реакция то страна на стената към стълбата;

 е силата на нормална реакция то страна на подът към стълбата;

 е силата на триене между стълбата и пода;

 е силата на тежестта на човека.

Тъй като стената е идеално гладка, сила на триене между стълбата и стената няма.

 

Записваме първото условие за равновесие :

(1) ,

Избираме координатна система XOY както е показано на фиг.2 и проектираме векторното уравнение (1) върху координатните оси :

(2)

(3)

Намираме проекциите на силите :

; ;

; ;

; ;

 ;

Заместваме проекциите на силите в (2) и (3) :

 (4)

      (5) , заместваме в (4) :

(6)

 

Ако означим с , ,  и  моментите създавани съответно от силите , , и , то второто условие за равновесие ще има вида :

(7)

За да определим действащите моменти, избираме ос Z, минаваща през точка О и имаща посока от равнината на рисунката към нас (фиг.3). При така избраната ос Z:

Фиг.3.

(8)  ;

(9)  ;

(10)  ; (10.1)

(11)  ; (11.1)

От триъгълника OAC (фиг.3):

   , заместваме в (11.1):

(12)

 

Проектираме векторното уравнение (7) върху оста Z и заместваме (8), (9), (10.1) и (12) :

(13)  , заместваме  от (6):

(14)

 

Отговор :