Да се определи налягането в Марианската падина – дълбочина  и плътност на водата  ако :

1. Ако водата е несвиваема и земното ускорение не се променя - .

2. Ако земното ускорение не се променя, а водата е свиваема.

В първо приближение, плътността на водата в дълбочина (при температура ) се апроксимира с точност над 0,01% от квадратното уравнение :

(1)

(2) ; ; ;

3. Ако водата е свиваема и земното ускорение се променя по линеен закон от повърхността към центъра на Земята, където е 0, тоест :

(3), където :  е радиусът на Земята.

 

Решение :

1. Ако водата е несвиваема и земното ускорение не се променя.

(4)

     ; ;

    

    

(5)

 

2. Ако водата е свиваема, а земното ускорение не се променя.

Изменението на налягането  на произволна дълбочина  при изменението и на дълбочината с  се дава от изразът:

(6)

 

Интегрираме диференциалното уравнение (6) като отчетем границите на интегралите : ,  :

(7)

 

Заместваме изразът за  от (1) в (7) :

(8)

 

Правило за интегриране на константа по функция :

(9) , където

( виж доказателство на правилото )

 

Прилагаме правилото н (8) :

(10)

 

Това е интеграл от вида :

( виж пресмятането на интеграла )

 

В гранници , интеграла добива вида :

       

(11)

 

Заместваме (11) в (10) :

(12)

 

Заместваме с конкретните стойности (виж екселският файл):

(13)

 

3. Ако водата е свиваема и земното ускорение се променя по линеен закон от повърхността към центъра на Земята (виж механика/динамика/гравитация).

Земното ускорение се променя по линеен закон от повърхността към центъра на Земята, където е нула, тоест :

(14), където :  е радиусът на Земята.

 

На дълбочина , от повърхността на Земята, ускорението ще бъде :

(15)

 

Определяме коефициентите d и f  на линейната функция, описваща изменението на земното ускорение от повърхността на земята  до дълбочина :

x[m]

g[m/s2]

x1 = 0

g1 = 9,80665

x2 = 11022

g2 = 9,789684

(16) ;

(17) ;

 

Изменението на налягането  на произволна дълбочина  при изменението на дълбочината с  ще се дава от изразът:

(18)

 

Интегрираме диференциалното уравнение (18) като отчетем границите на интегралите : ,  :

(19)

 

Заместваме в (19) изразите за  и  от (15) и (3) :

      

      

(20)

 

Правило за интегриране на сума/разлика на две функции :

( виж доказателство на правилото )

 

Прилагаме правилото в (20) :

(21)

 

Прилагаме правило (9) в (21) :

(22)

 

Това са таблични интеграли от вида :

,

( виж доказателството на интеграла )

 

В гранници , табличният интеграла добива вида :

(23)

 

Прилагаме (23) в (22) :

      

(24)

 

Заместваме с конкретните стойности (виж екселският файл):

 (25)

 

Отговор : ; ;